Comparaison de deux formules - Solution 3

1. Sans carte d'adhésion, chaque place coûte 7,80 € et  \(2 \times 7{,}8=15{,}6\)  donc le prix de deux séances est 15,60 € .

Avec la carte d'adhésion qui coûte 15 €, chaque place coûte 5 € et  `15+2\times 5=25`  donc le coût total de deux séances est 25 €.

On a donc   \(u_2=15{,}6\)  et  `v_2=25` .

2. La carte d'adhésion coûte 15 € donc  `v_0=15` . De plus, chaque place coûte 5 € donc le coût total augmente de 5 € à chaque séance.

La suite  `(v_n)`  est donc une suite arithmétique de premier terme  `v_0=15`  et de raison  `r=5` .

3. a.

\(\texttt{def seuil():}\)

      \(\texttt{n=0}\)  

      \(\texttt{U=0}\)

      \(\texttt{V=15}\)

      \(\texttt{while V>=U:}\)  

          \(\texttt{U=U+7.8}\)

          \(\texttt{V=V+5}\)

          \(\texttt{n=n+1}\)

      \(\texttt{return n}\)

    b. Pour tout entier naturel  `n` ,  `v_n=v_0+nr`  soit  `v_n=15+5n` .

Le coût total de  `n`  places achetées sans la carte d'adhésion est  \(7{,}8 \times n\)  donc, pour tout entier naturel  `n` ,  \(u_n=7{,}8n\) . On peut remarquer que la suite  `(u_n)`  est une suite arithmétique de premier terme  `u_0=0`  et de raison 7,8.

On cherche donc la plus petite valeur de  `n`  telle que  `u_n>v_n`  :

\(u_n>v_n \iff 7{,}8n>15+5n \iff 2{,}8n>15 \iff n>\dfrac{15}{2{,}8}\)

Or  \(\dfrac{15}{2{,}8} \approx 5{,}4\)  donc la carte d'adhésion devient avantageuse à partir de 6 séances .