Comparaison de deux formules - Solution 3

1. Sans carte d'adhésion, chaque place coûte 7,80 € et  $2\times 7,8=15,6$  donc le prix de deux séances est 15,60 € .

Avec la carte d'adhésion qui coûte 15 €, chaque place coûte 5 € et  $15+2\times 5=25$  donc le coût total de deux séances est 25 €.

On a donc   $u_2=15,6$  et  $v_2=25$ .

2. La carte d'adhésion coûte 15 € donc  $v_0=15$ . De plus, chaque place coûte 5 € donc le coût total augmente de 5 € à chaque séance.

La suite  $(v_n)$  est donc une suite arithmétique de premier terme  $v_0=15$  et de raison  $r=5$ .

3. a.

$\mathtt{\text{def seuil():}}$

      $\mathtt{\text{n=0}}$  

      $\mathtt{\text{U=0}}$

      $\mathtt{\text{V=15}}$

      $\mathtt{\text{while V>=U:}}$  

          $\mathtt{\text{U=U+7.8}}$

          $\mathtt{\text{V=V+5}}$

          $\mathtt{\text{n=n+1}}$

      $\mathtt{\text{return n}}$

    b. Pour tout entier naturel  $n$ ,  $v_n=v_0+nr$  soit  $v_n=15+5n$ .

Le coût total de  $n$  places achetées sans la carte d'adhésion est  $7,8\times n$  donc, pour tout entier naturel  $n$ ,  $u_n=7,8n$ . On peut remarquer que la suite  $(u_n)$  est une suite arithmétique de premier terme  $u_0=0$  et de raison 7,8.

On cherche donc la plus petite valeur de  $n$  telle que  $u_n>v_n$  :

$u_n>v_n⟺7,8n>15+5n⟺2,8n>15⟺n>{\displaystyle \frac{15}{2,8}}$

Or  ${\displaystyle \frac{15}{2,8}}\approx 5,4$  donc la carte d'adhésion devient avantageuse à partir de 6 séances .